计算机算法之定点数

文章摘要：表1给出5种不同整型数表达式的3位编码。表1 有符号二进制数的常规编码1.无符号整数（Unsigned Integer）设X是一个Ⅳ位无符号二进制数，则其范围是［0，2N － 1］，表达式如下：其中扬是X的第n位二进制数字（也就是Xn∈［0，1］）。数字Xo称作最低有效位（Least SignificantBit，LSB），具有相当于个位的权重。数字XN－1）就是最高有效位（Most Significant Bit，MSB），具有相当于2N-1的权重。2.有符号数值（Signed－Magnitude，SM）在有符号数字表示法中，数字和符号是单独表示的。第一位XN－1（即MSB）代表符号，余下的

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　　表1给出5种不同整型数表达式的3位编码。

　　表1 有符号二进制数的常规编码

　　1.无符号整数（Unsigned Integer）

　　设X是一个Ⅳ位无符号二进制数，则其范围是［0，2^N － 1］，表达式如下：

　　其中扬是X的第n位二进制数字（也就是X_n∈［0，1］）。数字Xo称作最低有效位（Least SignificantBit，LSB），具有相当于个位的权重。数字X_N－1）就是最高有效位（Most Significant Bit，MSB），具有相当于2N-1的权重。

　　2.有符号数值（Signed－Magnitude，SM）

　　在有符号数字表示法中，数字和符号是单独表示的。第一位XN－1（即MSB）代表符号，余下的N－1位代表数字，表达式如下：

　　这一表达式的范围是［-（2^N-1－1；），2^N-1-1］，有符号数字表示法的优点就是简化了溢出的禁止，但缺点就是加法不得不根据哪一个操作数更大而分开来运算。

　　3.二进制补码Two’s Complement，2C）

　　有符号整数的N位二进制补码表达式如下：

　　其表达式的范围是［-2^N-1,2^N-1-1］。二进制补码表示法是目前DSP领域内最为流行的有符号数字表示法。这是因为它使得累加多个有符号数值成为可能，而且最终结果是在N位范围内，我们可以忽略任何算术上的溢出。例如我们计算两个3位数，其过程如下：

　　溢出可以忽略。所有的计算都是取模2^N。这样就有可能出现不能够正确表示中间值的情形，但只要最终值有效，结果就是正确的。例如计算3位的数字2＋2－3，会得到一个中间值010＋010＝100_2C，也就是－4₁₀，但是结果100 － 011＝100＋101＝001_2C，是正确的。

　　二进制补码还可以用来实现模2^N算法，而且不需要在算法中作任何改动。

　　4.二进制反码（也称作1的补码，One’s Complement，1C）

　　N在二进制反码数字表示法可以整数范围是[-（2^N-1+1），2^N-1-1]。在二进制反码中，正整数和负整数除了符号位之外具有相同的表示方法。也就是说，事实上0需要额外的表达式。二进制反码中有符号标准表达式如下：


　　例如，在表1第三列中给书的3和-3的3位二进制反码表达式。
　　请看下面的简单示例。

　　在二进制反码中需要“进位回绕（carry wrap－around）”加法。在最高有效位与最低有效位相加得到正确结果时，就会出现进位。

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